3.1. Obliczenia potęg modularnych

Wprowadzenie

Rozważmy operację potęgowania modularnego stosowaną np. w algorytmie RSA.

Liczbę a podnosimy do potęgi x, po czym bierzemy resztę z dzielenia otrzymanej liczby przez ustaloną liczbę M, dzięki czemu otrzymujemy wynik

b = a^x mod M,

gdzie a, M – dodatnie liczby całkowite, x – nieujemna liczba całkowita.

Mówimy wtedy, że a^x modulo M równa się b.

Przykład:

Dla a = 2, x = 5, M = 7 liczymy resztę z dzielenia 2⁵ (czyli 32) przez 7, zatem b = 4. Dla a = 3, x = 3 i M = 11 mamy b = 3³ mod 11 = 5, natomiast dla a = 10, x = 2 i M = 13 wynikiem jest b = 10² mod 13 = 9.

Informacja do zadań 3.3.−3.5.

W pliku liczby.txt jest 1 000 wierszy, w każdym − po trzy nieujemne liczby całkowite, kolejno M, a, b, oddzielone pojedynczymi spacjami. Liczby w pliku są nie większe niż 10 000, a ponadto wszystkie liczby M i a są większe bądź równe 2.

Napisz program(-y), który(-e) znajdzie(-dą) odpowiedzi do poniższych zadań. Każdą odpowiedź zapisz w pliku wyniki3.txt i poprzedź ją numerem odpowiedniego zadania. Do Twojej dyspozycji jest plik liczby_przyklad.txt, w którym zapisano 5 wierszy w formacie opisanym wyżej. Odpowiedzi dla pliku przykładowego są podane przy odpowiednich zadaniach − możesz ich użyć, aby sprawdzić poprawność działania swojego programu.

Polecenie